Co to jest współbrzmienie?

W poprzedniej notce dowiedzieliśmy się, jak działa dźwięk. Powtórzmy tę formułę:

DŹWIĘK = GRUNT + WSZYSTKIE WIELE OVERTONÓW

Oprócz tego, tak jak Japończycy podziwiają kwiaty wiśni, my również będziemy podziwiać wykres odpowiedzi częstotliwościowej – charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową dźwięku (rys. 1):

Przypomnijmy, że oś pozioma reprezentuje wysokość dźwięku (częstotliwość oscylacji), a oś pionowa reprezentuje głośność (amplitudę).

Każda pionowa linia jest harmoniczną, pierwsza harmoniczna jest zwykle nazywana podstawową. Harmoniczne są uporządkowane w następujący sposób: druga harmoniczna jest 2 razy wyższa niż ton podstawowy, trzecia to trzy, czwarta to cztery i tak dalej.

Ze względu na zwięzłość, zamiast „częstotliwość nharmonicznej” powiemy po prostu „nharmoniczna”, a zamiast „częstotliwości podstawowej” – „częstotliwość dźwięku”.

Patrząc więc na pasmo przenoszenia, nie będzie nam trudno odpowiedzieć na pytanie, czym jest współbrzmienie.

Jak liczyć do nieskończoności?

Współbrzmienie dosłownie oznacza „współbrzmiące”, wspólne brzmienie. Jak dwa różne dźwięki mogą brzmieć razem?

Narysujmy je na tym samym wykresie pod sobą (ryc. 2):

Oto odpowiedź: częstotliwość niektórych harmonicznych może się pokrywać. Logiczne jest założenie, że im bardziej pasujące częstotliwości, tym bardziej „powszechne” dźwięki, a co za tym idzie, więcej współbrzmienia w dźwięku takiego interwału. Aby być całkowicie precyzyjnym, ważna jest nie tylko liczba pasujących harmonicznych, ale także to, jaka część wszystkich brzmiących harmonicznych pasuje, czyli stosunek liczby dopasowań do całkowitej liczby brzmiących harmonicznych.

Otrzymujemy najprostszy wzór do obliczania współbrzmień:

gdzie N_sowp to liczba pasujących harmonicznych,  N_pospolity to całkowita liczba brzmiących harmonicznych (liczba różnych brzmiących częstotliwości) oraz minusy i jest naszym upragnionym współbrzmienia. Aby być matematycznie poprawnym, lepiej nazwać ilość miara współbrzmienia częstotliwości.

Cóż, sprawa jest niewielka: trzeba obliczyć N_sowp и N_pospolity, podziel jeden przez drugi i uzyskaj pożądany wynik.

Jedynym problemem jest to, że zarówno całkowita liczba harmonicznych, jak i liczba pasujących harmonicznych jest nieskończona.

Co się stanie, jeśli podzielimy nieskończoność przez nieskończoność?

Zmieńmy skalę poprzedniego wykresu, „odsuńmy się” od niego (rys. 3)

Widzimy, że pasujące harmoniczne pojawiają się raz po raz. Obraz jest powtórzony (ryc. 4).

To powtórzenie nam pomoże.

Wystarczy nam obliczyć stosunek (1) w jednym z wykropkowanych prostokątów (np. w pierwszym), wtedy dzięki powtórzeniom i na całej linii stosunek ten pozostanie taki sam.

Dla uproszczenia częstotliwość podstawowego tonu pierwszego (niższego) dźwięku będzie uważana za równą jedności, a częstotliwość podstawowego tonu drugiego dźwięku zostanie zapisana jako ułamek nieredukowalny  .

Zauważmy w nawiasach, że w systemach muzycznych z reguły używane są właśnie dźwięki, których stosunek częstotliwości jest wyrażony przez pewien ułamek  . Na przykład interwał kwinty to stosunek  , kwarty –  , tryton —   itd.

Obliczmy stosunek (1) wewnątrz pierwszego prostokąta (rys. 4).

Dosyć łatwo jest policzyć liczbę pasujących harmonicznych. Formalnie są ich dwa, jeden należy do dolnego dźwięku, drugi do górnego, na ryc. 4 zaznaczone są na czerwono. Ale obie te harmoniczne brzmią odpowiednio z tą samą częstotliwością, jeśli policzymy liczbę pasujących częstotliwości, to będzie tylko jedna taka częstotliwość.

Jaka jest całkowita liczba brzmiących częstotliwości?

Kłóćmy się w ten sposób.

Wszystkie harmoniczne dolnego dźwięku są ułożone w liczby całkowite (1, 2, 3 itd.). Gdy tylko dowolna harmoniczna górnego dźwięku będzie liczbą całkowitą, zbiegnie się z jedną z harmonicznych dolnego. Wszystkie harmoniczne dźwięku górnego są wielokrotnościami tonu podstawowego , więc częstotliwość n-ta harmoniczna będzie równa:

czyli będzie to liczba całkowita (od m jest liczbą całkowitą). Oznacza to, że górny dźwięk w prostokącie ma harmoniczne od pierwszego (tonu podstawowego) do n-och więc dźwięk n częstotliwości.

Ponieważ wszystkie harmoniczne dźwięku dolnego znajdują się w liczbach całkowitych, a zgodnie z (3) pierwsza zbieżność występuje przy częstotliwości m, okazuje się, że dolny dźwięk wewnątrz prostokąta da m brzmiące częstotliwości.

Należy zauważyć, że częstotliwość zbieżności m znowu policzyliśmy dwa razy: kiedy policzyliśmy częstotliwości górnego dźwięku i kiedy policzyliśmy częstotliwości dolnego dźwięku. Ale w rzeczywistości częstotliwość wynosi jeden i aby uzyskać poprawną odpowiedź, będziemy musieli odjąć jedną „dodatkową” częstotliwość.

Suma wszystkich częstotliwości brzmiących wewnątrz prostokąta będzie wynosić:

Podstawiając (2) i (4) do wzoru (1), otrzymujemy proste wyrażenie do obliczenia współbrzmienia:

Aby podkreślić współbrzmienie jakich dźwięków obliczyliśmy, możesz wskazać te dźwięki w nawiasach minusy:

Używając tak prostej formuły, możesz obliczyć współbrzmienie dowolnego interwału.

A teraz rozważmy niektóre właściwości współbrzmienia częstotliwości i przykłady jej obliczania.

Właściwości i przykłady

Najpierw obliczmy współbrzmienia dla najprostszych interwałów i upewnijmy się, że formuła (6) „działa”.

Jaki przedział jest najprostszy?

Zdecydowanie prima. Dwie nuty brzmią jednocześnie. Na wykresie będzie to wyglądać tak:

Widzimy, że absolutnie wszystkie brzmiące częstotliwości pokrywają się. Dlatego współbrzmienie musi być równe:

Zastąpmy teraz stosunek unisono  we wzorze (6) otrzymujemy:

Kalkulacja pokrywa się z „intuicyjną” odpowiedzią, której należy się spodziewać.

Weźmy inny przykład, w którym intuicyjna odpowiedź jest równie oczywista – oktawa.

W oktawie górny dźwięk jest odpowiednio 2 razy wyższy niż dolny (zgodnie z częstotliwością tonu podstawowego), na wykresie będzie wyglądał tak:

Z wykresu widać, że co druga harmoniczna jest zbieżna, a intuicyjna odpowiedź brzmi: współbrzmienie wynosi 50%.

Obliczmy to według wzoru (6):

I znowu obliczona wartość jest równa „intuicyjnej”.

Jeśli przyjmiemy nutę jako niższy dźwięk do i wykreśl na wykresie wartość współbrzmienia dla wszystkich przedziałów w obrębie oktawy (proste interwały), otrzymujemy następujący obraz:

Najwyższe miary współbrzmienia znajdują się w oktawie, kwincie i kwarcie. Historycznie odnosili się do „doskonałych” współbrzmień. Tercje mała i wielka oraz seksta mała i wielka są nieco niższe, interwały te uważane są za „niedoskonałe” współbrzmienia. Pozostałe interwały mają niższy stopień współbrzmienia, tradycyjnie należą do grupy dysonansów.

Teraz podajemy kilka właściwości miary współbrzmienności częstotliwości, które pochodzą ze wzoru na jej obliczenie:

1. Im bardziej złożony stosunek  (im więcej liczby m и n), im mniej spółgłoski w przedziale.

И m и n we wzorze (6) są w mianowniku, dlatego wraz ze wzrostem tych liczb miara współbrzmienia maleje.

2. Konsonans w górę przedziału jest równy współbrzmieniu w dół przedziału.

Aby uzyskać interwał w dół zamiast interwału w górę, potrzebujemy współczynnika   zamiana m и n. Ale we wzorze (6) nic się nie zmieni od takiego zastąpienia.

3. Miara współbrzmienia częstotliwości interwału nie zależy od tego, z jakiej nuty go budujemy.

Jeśli przesuniesz obie nuty o ten sam interwał w górę lub w dół (na przykład zbuduj kwintę nie z nuty) do, ale z notatki .е), to stosunek  między nutami nie zmieni się, a co za tym idzie, miara współbrzmienia częstotliwości pozostanie taka sama.

Moglibyśmy podać inne właściwości współbrzmienia, ale na razie ograniczymy się do nich.

Fizyka i teksty

Rysunek 7 daje nam wyobrażenie o tym, jak działa współbrzmienie. Ale czy tak naprawdę postrzegamy współbrzmienie interwałów? Czy są ludzie, którzy nie lubią doskonałych współbrzmień, ale najbardziej dysonansowe harmonie wydają się przyjemne?

Tak, tacy ludzie z pewnością istnieją. Aby to wyjaśnić, należy wyróżnić dwa pojęcia: współbrzmienie fizyczne и postrzegany współbrzmienie.

Wszystko, co rozważaliśmy w tym artykule, ma związek z fizycznym współbrzmieniem. Aby to obliczyć, musisz wiedzieć, jak działa dźwięk i jak sumują się różne wibracje. Współbrzmienie fizyczne zapewnia warunki wstępne postrzegania współbrzmień, ale nie określa ich w 100%.

Postrzegany współbrzmienie określa się bardzo prosto. Osoba jest pytana, czy lubi tę współbrzmienie. Jeśli tak, to dla niego jest to współbrzmienie; jeśli nie, to dysonans. Jeśli da się mu do porównania dwa interwały, to możemy powiedzieć, że jeden z nich będzie wydawał się w tej chwili bardziej spółgłoskowy, drugi mniej.

Czy można obliczyć postrzegany współbrzmienie? Nawet jeśli założymy, że jest to możliwe, to ta kalkulacja będzie katastrofalnie skomplikowana, będzie zawierać jeszcze jedną nieskończoność – nieskończoność człowieka: jego doświadczenie, cechy słuchu i zdolności mózgu. Z tą nieskończonością nie jest tak łatwo sobie poradzić.

Jednak badania w tej dziedzinie trwają. W szczególności kompozytor Ivan Soshinsky, który uprzejmie dostarcza materiały dźwiękowe do tych nut, opracował program, za pomocą którego można zbudować indywidualną mapę percepcji współbrzmień dla każdej osoby. Obecnie rozwijana jest strona mu-theory.info, na której każdy może zostać przetestowany i poznać cechy swojego słuchu.

A jednak, jeśli istnieje postrzegany współbrzmienie, które różni się od fizycznego, jaki jest sens obliczania tego ostatniego? Możemy przeformułować to pytanie w bardziej konstruktywny sposób: jak te dwa pojęcia mają się do siebie?

Badania pokazują, że korelacja między średnim postrzeganym współbrzmieniem a fizycznym współbrzmieniem jest rzędu 80%. Oznacza to, że każda osoba może mieć swoje indywidualne cechy, ale fizyka dźwięku wnosi przytłaczający wkład w definicję współbrzmienia.

Oczywiście badania naukowe w tej dziedzinie są wciąż na samym początku. A jako strukturę dźwięku przyjęliśmy stosunkowo prosty model wielu harmonicznych, a do obliczenia współbrzmień wykorzystano najprostszą – częstotliwość i nie uwzględniono specyfiki aktywności mózgu w przetwarzaniu sygnału dźwiękowego. Jednak fakt, że nawet w ramach takich uproszczeń uzyskano bardzo wysoki stopień korelacji między teorią a eksperymentem, jest bardzo zachęcający i stymuluje dalsze badania.

Zastosowanie metody naukowej w dziedzinie harmonii muzycznej nie ogranicza się do obliczania współbrzmień, ale daje też ciekawsze rezultaty.

Na przykład za pomocą metody naukowej harmonię muzyczną można przedstawić graficznie, zwizualizować. Porozmawiamy o tym, jak to zrobić następnym razem.

Autor – Roman Oleinikov